Mesquita (1998)

Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation. in geometry. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 183-195.

短く，読みやすい非常に良い論文でした．著者は，フランス・ストラスブールの Duval らの研究グループの一員です．幾何，特に図形についての研究を主に進めてきた方です．研究の内容は大まかに知っていましたが，論文をあまり深く読んだことはありませんでした（おそらく一本ぐらいはあるけど，忘れてしまった）．今回はひょんなことから読むことになりました．

論文では，図形・図の機能と役割について非常にうまくまとめられています．新しいものはあまりなく，レビュー的要素が強いですが，図形について日頃思っていることを，いい言葉を導入し，うまく説明しています．表現 (representation) に関する研究では，Duval の register の概念を用いるといろいろなことを非常にうまく説明できます．しかし，この論文では，それとはまた少し異なった視点，心理的・文化的な視点にも焦点を当てています．以下，簡単に，特に用いられている用語に注目して，内容を紹介します．

1. 「幾何学的空間 (geometrical space)」と「表象的空間 (representative space)」
前者は，幾何的な，抽象的な，幾何対象が存在する空間．後者は，われわれの表現（表象）や感覚の枠組みとなる空間（紙上や現実の空間など）である．この区分は，今日的には，数学教育関係者はみな知っていることと思いますが，これらはポアンカレの『科学と仮説』で論じられているそうです．つまり，私はこの本をちゃんと読んでいなかったということです．

2. 表現の典型性
認知心理学の研究を援用し，図的表現には典型性があることを示しています．つまり，数学的にはほぼ同値であっても，典型的な (typical) 図や原型的な (prototypical) 図が存在し，人間がそれ以外の図を認識しづらいことがあるということです．これもよく知られたことだと思いますが，そのベースを教えてくれます．

3. 表現の役割
描写的 (descriptive) 役割と発見的 (heuristical) 役割が紹介されています．まあよく知られたことです．

4. 表現の本性
表現の扱いの点からすると，表現は「対象 (object)」と「イラスト (illustration)」に分けられるとします．前者は，その表現自体を幾何的な推論に利用できたり，新たな関係・性質を得たりすることができる表現です．後者は，それらができないものです．例えば，ある幾何学的な対象をある程度の形は示しているが，角度や長さなどがいい加減に示されている図（正方形が台形のように描かれている図など）が，イラストにあたります．
この区分については，これまであまり考えたことがなかったですが，非常に面白いです．前者と後者は，両方とも図的表現ですが，register （Duval の意味で）として異なります．実際，使える操作が違います．さらに，register では，図的 register の要素の議論がありますが，この場合は，長さと角が異なる程度で非常に似た要素を持ちますが，register としては大きく異なるのです．
なお，学校現場でもこの性質を利用する場面がたまにみられます．図に頼らせないために，生徒に上の意味での「イラスト」を与えることがあります．これは，問題を解くために図的な register を使わせないようにしていると説明できます．

以上です．

この論文は本当に読みやすく，かつ図的表現に関する基礎的なものが沢山出てきますので，修士課程の院生などが勉強するのに良いのではないでしょうか．

追記：私は，representation の訳として「表現」という言葉をよく使いますが，「表象」などとも訳されたりすることもあるようです．私は，「表象」というとなんとなく難しそうなので基本的に使いません，私にとっての，representation とは，何か抽象的なものを示すために，人間の感覚（視覚や聴覚など）によって認識できるように利用された「もの」です．記号や図をはじめ，ジェスチャー，絵画などなど，すべて「表現」になります．